Question

已知橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求：

（1）點(diǎn)的軌跡方程；
（2）點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P（a，b）為原點(diǎn)時(shí)，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點(diǎn)，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）
當(dāng)a=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，點(diǎn)（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，b）與（0，0）
同理，當(dāng)b=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a，0）與（0，0）
當(dāng)且，即點(diǎn)P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（a，0）、（0，b）與（0，0）

（1）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則的方程為
由已知         （1）
（2）
由（1）得
， （3）
由（2）得
，             （4）
由（3）、（4）及，，，
得點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程
                     （5）
當(dāng)時(shí)，k不存在，此時(shí)l平行于y軸，因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a，0）顯然點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程（5）
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程

設(shè)方程（5）所表示的曲線為L，
則由
得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823134423295740.gif" style="vertical-align:middle;" />，由已知，
所以當(dāng)時(shí)，△=0，曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P（a，b）
當(dāng)時(shí)，△＜0，曲線L與橢圓C沒有交點(diǎn)
因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上，所以曲線L在橢圓C內(nèi)
故點(diǎn)Q的軌跡方程為
（2）由 解得曲線L與y軸交于點(diǎn)（0，0），（0，b）
由 解得曲線L與x軸交于點(diǎn)（0，0），（a，0）
當(dāng)a=0，b=0，即點(diǎn)P（a，b）為原點(diǎn)時(shí)，（a，0）、（0，b）與（0，0）重點(diǎn)，曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）
當(dāng)a=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí)，點(diǎn)（a，0）與（0，0）重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，b）與（0，0）
同理，當(dāng)b=0且，即點(diǎn)P（a，b）不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（a，0）與（0，0）
當(dāng)且，即點(diǎn)P（a，b）在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（a，0）、（0，b）與（0，0）