Question

9．已知函數(shù)$f（x）=-ax+\frac{1}{2}{x^2}+lnx$在（2，+∞）單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=-a+x+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{x}$，
若f（x）在（2，+∞）遞增，
則g（x）=x²-ax+1≥0在（2，+∞）恒成立，
即a≤x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）恒成立，
而y=x+$\frac{1}{x}$在（2，+∞）遞增，
故a≤2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．