Question

2．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC為等腰直角三角形，且∠ABC=90°，E為C₁C的中點，點F是BB₁上是BF=$\frac{1}{4}$BB₁，AC=AA₁=2a，求平面EFA與面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析 以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面AEF的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出平面平面EFA與面ABC所成角的大小．

解答 解：以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（$\sqrt{2}a$，0，0），F(xiàn)（0，0，$\frac{a}{2}$），E（0，$\sqrt{2}a$，a），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{2}a，\sqrt{2}a$，a），$\overrightarrow{AF}$（-$\sqrt{2}a，0，\frac{a}{2}$），
設平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\sqrt{2}ax+\sqrt{2}ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-\sqrt{2}ax+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，4$），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設平面平面EFA與面ABC所成角的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{4}{\sqrt{20}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面平面EFA與面ABC所成角的大小為arccos$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．