Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，E為CB的中點，AB=PA=AD=2CD，則PA與平面PDE所成的角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{22}}{22}$
• B． $\frac{\sqrt{22}}{11}$
• C． $\frac{3\sqrt{22}}{22}$
• D． $\frac{2\sqrt{22}}{11}$

Answer 1

分析 以A為原點，AD、AB、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出PA與平面PDE所成的角的正弦值．

解答 解：以A為原點，AD、AB、AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，2），D（2，0，0），B（2，1，0），E（1，$\frac{3}{2}$，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（-1，$\frac{3}{2}$，0），
設平面PDE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=-2a+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-a+\frac{3}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，2，3），
設PA與平面PDE所成的角為θ，
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{2×\sqrt{22}}$=$\frac{3\sqrt{22}}{22}$
∴PA與平面PDE所成的角的正弦值為$\frac{3\sqrt{22}}{22}$．
故選：C．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．