Question

19．在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，給出下面三個結(jié)論：
①BC∥平面PDF；
②DF⊥平面PAE；
③平面PDF⊥平面ABC．
其中不成立的結(jié)論是③．（寫出所有不成立結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 正四面體P-ABC即正三棱錐P-ABC，所以其四個面都是正三角形，在正三角形中，聯(lián)系選項②、③中有證明到垂直關(guān)系，應(yīng)該聯(lián)想到“三線合一”．D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，由中位線定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，進而可得判定①．

解答 解：對于①，由DF∥BC，可得BC∥平面PDF，故①正確．
對于②，若PO⊥平面ABC，垂足為O，則O在AE上，則DF⊥PO，又DF⊥AE，
故DF⊥平面PAE，故②正確．
對于③，由DF⊥平面PAE可得，AE⊥DF，且AE垂直AE與DF交點和P點邊線，
從而平面PDF⊥平面ABC，平面PDF∩平面PDE=PD，故③錯誤．
故答案為：③．

點評 本題考查空間中的線面關(guān)系，正三角形中“三線合一”，中位線定理等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思維能力．