Question

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0，1)，在x軸上有一點(diǎn)M，滿足，．

(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)若斜率為k的直線l與點(diǎn)C的軌跡交于不同兩點(diǎn)P、Q，且滿足，試求k的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解題思路：(1)設(shè)C(x，y)，則重心G， ∵，∴GM∥AB． 又∵M是x軸上一點(diǎn)，則M， 又，∴， 整理得(x≠0)． ∴點(diǎn)C的軌跡方程為(x≠0)． (2)①當(dāng)k=0時，l和橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)P、Q(實(shí)軸端點(diǎn))，根據(jù)橢圓對稱性有； ②當(dāng)k≠0時，可設(shè)l的方程y=kx＋m(k≠0)，聯(lián)立方程組 消去y，整理得． 直線l和橢圓C有兩個不同的交點(diǎn)． 則，即． 設(shè)PQ，則是方程 的兩根， ∴，． 則PQ中點(diǎn)N()的坐標(biāo)為 N． 又∵，∴，∴， 即， ∴，代入， 得(k≠0)．∴， ∴k(－1，0)∪(0，1)． 綜合①②，得k的取值范圍是(－1，1)．