Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位），且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=6sinθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可將圓C極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（II）先根據(jù)（I）得出圓C的普通方程，再根據(jù)直線與交與交于A，B兩點(diǎn)，可以把直線與曲線聯(lián)立方程，用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合直線參數(shù)方程的幾何意義，表示出|PA|+|PB|，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=6sinθ得ρ²=6ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²=6y，
即x²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，
得t²+2（cosα-sinα）t-7=0．
由△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，
故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{1}=-2（cosα-sinα）}\\{{t}_{1}•{t}_{2}=-7}\end{array}\right.$，
又直線l過(guò)點(diǎn)（1，2），
故結(jié)合t的幾何意義得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{4（cosα-sinα）^{2}+28}$=$\sqrt{32-4sin2α}$$≥\sqrt{32-4}$=2$\sqrt{7}$．
所以|PA|+|PB|的最小值為2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查參數(shù)方程的優(yōu)越性，及直線與曲線相交的問(wèn)題，在此類問(wèn)題中一般可用聯(lián)立方程式后用韋達(dá)定理求解即可，屬于綜合性試題有一定的難度．