Question

11．已知兩個具有線性相關關系的變量x，y的測量數據如下：

x	1	2	3	6
y	2	3	5	6

通過最小二乘法求其線性回歸方程，并預報當變量x為14時，變量y的值．
（ 注：線性回歸方程y=bx+a，其中$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$）

Answer 1

分析 根據題意，求出平均數$\overline{x}$、$\overline{y}$，計算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i和$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$，求出相關系數b和a，即可得出線性回歸方程．

解答 解：根據題意，得：
數據x的平均數是$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（1+2+3+6）=3，（2分）
y的平均數是$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2+3+5+6）=4；
∴$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}=1×2+2×3+3×5+6×6=59}$，
$\sum_{i=1}^4{x_i^2=1+4+9+36=50}$，
∴相關系數$b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}-4\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\overline x}^2}}}}=\frac{59-4×3×4}{50-4×9}=\frac{11}{14}$，（6分）
$a=\overline y-b\overline x=4-\frac{11}{14}×3=\frac{23}{14}$；
∴線性回歸方程為：y=$\frac{11}{14}$x+$\frac{23}{14}$，（8分）
當變量x=14時，變量y=$\frac{11}{14}$×14+$\frac{23}{14}$=$\frac{177}{14}$．（10分）

點評 本題考查了根據公式計算線性回歸方程的應用問題，是基礎題目．