Question

如圖，在組合體中，ABCD—A₁B₁C₁D₁是一個(gè)長(zhǎng)方體，P—ABCD是一個(gè)四棱錐．AB=2，BC=3，點(diǎn)P平面CC₁D₁D，且PC=PD=．

（1）證明：PD平面PBC；
（2）求PA與平面ABCD所成的角的正切值；
（3）若，當(dāng)a為何值時(shí)，PC//平面．

Answer 1

（1）先證，再證，根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論
（2）（3）當(dāng)時(shí)，
或建立空間直角坐標(biāo)系可以用空間向量解決

解析試題分析：方法一：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/2/tjouf.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以為等腰直角三角形，所以． 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/60/8/15ypu4.png" style="vertical-align:middle;" />是一個(gè)長(zhǎng)方體，所以，
而，所以，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/5/1kmwy2.png" style="vertical-align:middle;" />垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，
由線面垂直的判定定理，可得．

(2)過(guò)點(diǎn)在平面作于，連接．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1c/6/mikdy1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以就是與平面所成的角．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/14/1/t1qee.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以．    
所以與平面所成的角的正切值為．          
(3)當(dāng)時(shí)，．           
當(dāng)時(shí)，四邊形是一個(gè)正方形，所以，
而，所以，所以． 
而，與在同一個(gè)平面內(nèi)，所以． 
而，所以，所以．
方法二：(1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)，
則有，，，．                            
于是，，，
所以，．
所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，
由線面垂直的判定定理，可得．   

(2)解：，所以，而平面的一個(gè)法向量為．
所以．所以