Question

3．函數(shù)y=sin²x-3cos²x+2sinxcosx的值域為[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，化簡函數(shù)為y=Asin（ωx+φ）+b的形式，利用正弦函數(shù)的有界性求出函數(shù)y的值域．

解答 解：函數(shù)y=sin²x-3cos²x+2sinxcosx
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{3（1+cos2x）}{2}$+sin2x
=sin2x-2cos2x-1
=$\sqrt{5}$sin（2x+θ）-1，其中tanθ=-2；
∵-1≤sin（2x+θ）≤1，
∴-$\sqrt{5}$-1≤$\sqrt{5}$sin（2x+θ）-1≤$\sqrt{5}$-1，
∴函數(shù)y的值域為[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．
故答案為：[-$\sqrt{5}$-1，$\sqrt{5}$-1]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡與求值的應用問題，也考查了三角函數(shù)的有界性問題，是基礎題目．