Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax，g（x）=-x²-a（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，求a的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)G（x）=f（x）+g（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)F（x），求出F′（x），利用函數(shù)F（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為x²+2x+a≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即可求出a的最小值．
（Ⅱ）化簡并且求出G'（x），得到△=4（1-a）．討論①若a≥1，則△≤0，G'（x）的符號，函數(shù)G（x）的圖象與x軸是否有且只有一個交點，②若a＜1，則△＞0，G'（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設為x₁，x₂（x₁＜x₂）．通過討論函數(shù)的極值，得到當G（x₁）G（x₂）＞0，解得a＞0．當0＜a＜1時，G（0）=-a＜0，G（3）=2a＞0，當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．得到a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）F(x)=f(x)-g(x)=

1

3

x3+ax+x2+a，F(xiàn)′（x）=x²+2x+a
因函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以F′（x）=x²+2x+a≥0在x∈[1，+∞）恒成立，即a≥-3，
∴a的最小值為-3．----------（5分）
（Ⅱ）G(x)=f(x)+g(x)=

1

3

x3-x2+ax-a
∵G'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，則△≤0，∴G'（x）≥0在R上恒成立，
∴G（x）在R上單調(diào)遞增．∵G（0）=-a＜0，G（3）=2a＞0，
∴當a≥1時，函數(shù)G（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．----------（9分）
②若a＜1，則△＞0，
∴G'（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設為x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
當x變化時，G′（x），G（x）的取值情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
G'（x）	+	0	-	0	+
G（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵

x

2 1

-2x1+a=0，----------（12分）
∴a=-

x

2 1

+2x1．
∴G(x1)=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1-a
=

1

3

x

3 1

-

x

2 1

+ax1+

x

2 1

-2x1
=

1

3

x

3 1

+(a-2)x1
=

1

3

x1[

x

2 1

+3(a-2)]
同理G（x₂）=

1

3

x2[

x

2 2

+3(a-2)]．
∴G(x1)•G(x2)=

1

9

x

1

x

2

[

x

2 1

+3(a-2)]•[

x

2 2

+3(a-2)]
=

1

9

(x1x2)[(x1x2)2+3(a-2)(

x

2 1

+

x

2 2

)+9(a-2)2]
=

1

9

a{a2+3(a-2)[(x1+x2)2-2x1x2]+9(a-2)2}
=

4

9

a(a2-3a+3)．
令G（x₁）G（x₂）＞0，解得a＞0．
而當0＜a＜1時，G（0）=-a＜0，G（3）=2a＞0，
故當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．------------------（15分）

點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，函數(shù)的恒成立問題以及函數(shù)的零點的個數(shù)問題，注意函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的關系是求解函數(shù)零點的個數(shù)問題的方法．