Question

已知P是圓F₁：（x+1）²+y²=16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F₂（1，0），線(xiàn)段PF₂的垂直平分線(xiàn)l與半徑F₁P交于點(diǎn)Q．
（I）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡C的方程．
（II）已知點(diǎn)M（1，），A、B在（1）中所求的曲線(xiàn)C上，且（λ∈R，O是坐標(biāo)原點(diǎn)），
（i）求直線(xiàn)AB的斜率；
（ii）求證：當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，O是△MAB的重心．

Answer 1

（I）解：根據(jù)題設(shè)有|QP|=|QF₂|，|F₁P|=4
∴|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|F₁P|=4
∵|F₁F₂|=2＜4
∴根據(jù)橢圓的定義可知，Q的軌跡為以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)中心在原點(diǎn)半長(zhǎng)軸為2，半焦距為1，半短軸為的橢圓，其方程為
（II）（i）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得
1-x₁+1-x₂=λ，
∴
由 ，，
兩式相減可得+=0
直線(xiàn)AB的斜率為=；
（ii）證明：設(shè)AB的直線(xiàn)方程為y=-，代入橢圓C的方程，整理得x²-tx+t²-3=0
∴△=3（4-t²）＞0，|AB|==
∵P到直線(xiàn)AB的距離d=
∴△MAB的面積為S=
∴≤×=
∴S≤，當(dāng)且僅當(dāng)2-t=6+3t，即t=-1時(shí)取等號(hào)
∴當(dāng)t=-1時(shí)，三角形的面積S取得最大值，
根據(jù)韋達(dá)定理得x₁+x₂=t=-1，∴x₁+x₂=2+λ=-1，∴λ=-3
∴，
故O是△MAB的重心．
分析：（I）根據(jù)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程得到點(diǎn)M坐標(biāo)（-1，0），圓的半徑R=4，再由線(xiàn)段中垂線(xiàn)定理，可得出點(diǎn)Q的軌跡C是橢圓，從而可得出點(diǎn)G的軌跡C對(duì)應(yīng)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得，再利用點(diǎn)差法，即可求得直線(xiàn)AB的斜率；
（ii）設(shè)AB的直線(xiàn)方程為y=-，代入橢圓C的方程，求出|AB|及P到直線(xiàn)AB的距離，從而可得△MAB的面積，利用基本不等式求最值，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題借助一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，得到橢圓的第一定義，進(jìn)而求出其軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．