Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)的切線方程；

（2）對(duì)一切， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試討論在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) ；(2)實(shí)數(shù)的取值范圍為；

(3)當(dāng)， 在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí), 在

內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0.

【解析】試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，最后把直線方程化成一般式；（2）利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式在區(qū)間上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)，其中一個(gè)重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的一個(gè)突破口，觀察式子的特點(diǎn)，找到特點(diǎn)證明不等式；(3)對(duì)于恒成立的問(wèn)題常采用分離參數(shù)的方法，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1），（2）；（4）單調(diào)函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：解：(1) 由題意知,所以

又，

所以曲線在點(diǎn)的切線方程為5分

(2)由題意: ,即

設(shè),則

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí)， 取得最大值

故實(shí)數(shù)的取值范圍為. 10分

(3) ，，

①當(dāng)時(shí), ∵∴存在使得

因?yàn)?/span>開(kāi)口向上，所以在內(nèi),在內(nèi)即在內(nèi)是增函數(shù), 在內(nèi)是減函數(shù)

故時(shí)， 在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn), 且是極大值點(diǎn). 12分

②當(dāng)時(shí),因

又因?yàn)?/span>開(kāi)口向上

所以在內(nèi)則在內(nèi)為減函數(shù)，故沒(méi)有極值點(diǎn) 14分

綜上可知：當(dāng)， 在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí), 在

內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0. 15分