Question

7．某橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）滿足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=3，若離心率的范圍為$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求橢圓長軸長的范圍．

Answer 1

分析 離心率的范圍為$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$\frac{1}{2}≤\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{2}{3}$，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$范圍，又滿足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=3，可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3{a}^{2}-1}$．代入利用不等式的性質即可得出．

解答 解：∵離心率的范圍為$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}≤\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{2}{3}$，
化為$\frac{1}{3}$≤$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，
又滿足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=3，
∴b²=$\frac{{a}^{2}}{3{a}^{2}-1}$，即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3{a}^{2}-1}$．
∴$\frac{1}{3}≤\frac{1}{3{a}^{2}-1}≤\frac{1}{2}$，
化為$1≤{a}^{2}≤\frac{4}{3}$，a＞0，
∴$1≤a≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴$2≤2a≤\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴橢圓長軸長的范圍是$[2，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

點評 本題考查了橢圓的性質、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．