Question

（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為

.

（Ⅰ）將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）曲線，是否相交，若相交請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng)，若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）公共弦長(zhǎng)為。

【解析】本題主要考查了圓的參數(shù)方程，以及簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，屬于基礎(chǔ)題．

（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)θ，即可求出曲線C₁的普通方程，曲線C₂的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)就可求出直角坐標(biāo)方程；

（2）先求出兩個(gè)圓心之間的距離與兩半徑和進(jìn)行比較，設(shè)相交弦長(zhǎng)為d，因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以公共弦平分線段C₁C₂，建立等量關(guān)系，解之即可．

解：（I）由得，

∴曲線的普通方程為---------------------2分

∵，∴，

∵，，∴，

即，

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為-------------------5分

（II）∵圓的圓心為，圓的圓心為，

∴，∴兩圓相交------------------8分

設(shè)相交弦長(zhǎng)為，因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以公共弦平分線段,

∴，∴，所以公共弦長(zhǎng)為--------------10分