Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右頂點分別為A₁、A₂，M是雙曲線上異于A₁、A₂的任意一點，直線MA₁和MA₂分別與y軸交于P，Q兩點，O為坐標原點，若|OP|，|OM|，|OQ|依次成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $[{\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $（{1，\sqrt{2}}）$
• D． $（{1，\sqrt{2}}]$

Answer 1

分析 設M（x₀，y₀），P（0，y_p），Q（0，y_q），通過M，P，Q三點共線，求出y_p，y_q，利用等比數(shù)列求出b的范圍，然后求解離心率即可．

解答 解：設M（x₀，y₀），P（0，y_p），Q（0，y_q），
由M，P，Q三點共線，可知y_p=$\frac{a{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$，同理y_q=$\frac{-a{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$，
所以|OP||OQ|=$\frac{{a}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=^{2}$，從而|OM|=b，當b＞a時，滿足題意，所以e$＞\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，等比數(shù)列的性質的應用，考查計算能力．