Question

已知數(shù)列{a_n}．a(chǎn)₁=2，當n≥2時，

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）C_n=2a_n-3•2ⁿ，設(shè)T_n為數(shù)列{C_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知的數(shù)列遞推式可得數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項，以

3

2

為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式后可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的數(shù)列{a_n}的通項公式代入C_n=2a_n-3•2ⁿ，由錯位相減法求得數(shù)列{C_n}的前n項和．

解答： 解：（Ⅰ）由

an

2n

=

an-1

2n-1

+

3

2

（n≥2），
可得數(shù)列{

an

2n

}是以

a1

2

=1為首項，以

3

2

為公差的等差數(shù)列，
則

an

2n

=1+

3

2

(n-1)=

3

2

n-

1

2

，∴an=

1

2

(3n-1)•2n；
（Ⅱ）c_n=2a_n-3•2ⁿ=2•

1

2

(3n-1)•2n-3•2n
=（3n-1-3）•2ⁿ=（3n-4）•2ⁿ．
則T_n=c₁+c₂+…+c_n
=-1•2¹+2•2²+5•2³+…+（3n-7）•2^n-1+（3n-4）•2ⁿ    ①，
2Tn=-1•22+2•23+5•23+…+(3n-7)•2n+(3n-4)•2n+1    ②，
①-②得：-Tn=-2+3(22+23+…+2n)-(3n-4)•2n+1
=-2+3•

4(1-2n-1)

1-2

-(3n-4)•2n+1=-14-（3n-7）•2ⁿ⁺¹．
∴Tn=(3n-7)•2n+1+14．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．