Question

（本小題滿分14分）

     已知橢圓C的左，右焦點坐標(biāo)分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點分別記為A,B。點S是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AS,BS與直線分別交于M,N兩點。

求橢圓C的方程；

求線段MN長度的最小值；

當(dāng)線段MN的長度最小時，在橢圓C上的T滿足：T到直線AS的距離等于.

試確定點T的個數(shù)。

Answer 1

解（1）因為，且，所以

         所以橢圓C的方程為         …………………………………………….3分

      (2 ) 易知橢圓C的左，右頂點坐標(biāo)為,直線AS的斜率顯然存在，且

         故可設(shè)直線AS的方程為，從而

         由得

         設(shè)，則，得

         從而，即

         又,故直線BS的方程為

         由得，所以

         故

         又，所以

        當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立

        所以時，線段MN的長度取最小值        ………………………………..9分

（3）由（2）知，當(dāng)線段MN的長度取最小值時，

此時AS的方程為，,

     因為點T到直線AS的距離等于，

     所以點T在平行于AS且與AS距離等于的直線上

     設(shè)，則由，解得

當(dāng)時，由得

        由于，故直線與橢圓C有兩個不同交點

       ②時，由得

由于，故直線與橢圓C沒有交點

綜上所求點T的個數(shù)是2.                ……………………………………………..14分