Question

本題滿分14分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的最大值為90°，直線l過左焦點(diǎn)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，

△的面積最大值為12．

（1）求橢圓C的離心率；（5分）

（2）求橢圓C的方程。（9分）

 

Answer 1

【答案】

 

(1) ，

(2)

【解析】解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，設(shè)橢圓方程：   其焦距為， 則 ，，則．

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：．                  ………………………5分

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不滿足題意．

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

∵，∴．                  ………………………6分

　　  ∵，，  ∴．

　　　∴ ．（1）              ………………………8分

由方程組  得．  

由 得

 則，，              ………………………11分

代入①，得．

即，解得，或． 經(jīng)驗(yàn)證。    ………………………13分

　所以，直線的方程是或．       ………………………14分