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橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).

（Ⅰ）若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若橢圓的離心率滿足,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證為鈍角.

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓定義易得為邊上的中線，在中，可得，即得橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)，，由，，先得，再分兩種情況討論，①是當(dāng)直線軸垂直時(shí)；②是當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，都證明，可得結(jié)論．

試題解析：由橢圓的定義知，周長(zhǎng)為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092100480864818833/SYS201309210048504462565926_DA.files/image018.png">為正三角形，所以，，為邊上的高線，      2分

，∴橢圓的離心率.        4分

（Ⅱ）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092100480864818833/SYS201309210048504462565926_DA.files/image008.png">，，所以    6分

①當(dāng)直線軸垂直時(shí)，，，,

=， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092100480864818833/SYS201309210048504462565926_DA.files/image029.png">，所以，為鈍角.    8分

②當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入，

整理得：，

，

      10分

令， 由 ①可知 ，恒為鈍角.      12分

考點(diǎn)：1、橢圓的定義及性質(zhì)；2、直線與橢圓相交的綜合應(yīng)用；3、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與y=x+2相切．
（1）求a與b；
（2）設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，直線l過(guò)F2且與x軸垂直，動(dòng)直線l2與y軸垂直，l2交l1與點(diǎn)P．求PF1線段垂直平分線與l2的交點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明曲線類型．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出以下5個(gè)命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)M，使|F2P|=|PM|，則點(diǎn)M的軌跡是圓；
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn)，平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿足向量
AB
與
AP
夾角為銳角θ，且滿足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，則點(diǎn)P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點(diǎn)）；
⑤已知正四面體A-BCD，動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號(hào)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶一模）給出以下4個(gè)命題：
①曲線x2-（y-1）2=1按
a
=（1，-2）平移可得曲線（x+1）2-（y-3）2=1；
②若|x-1|+|y-1|≤1，則使x-y取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)；
③設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，n為常數(shù)，|
PA
|-|
PB
|=n，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
④若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是該橢圓上的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)M，使|F2P|=|PM|，則點(diǎn)M的軌跡是圓．
其中所有真命題的序號(hào)為
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆黑龍江省高二上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中F2也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C1的方程；  （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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同步練習(xí)冊(cè)答案