Question

坐標(biāo)空間中，考慮球面S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14與A（1，0，0），B（-1，0，0）兩點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)下列哪些選項(xiàng)是正確的？
（1）原點(diǎn)在球面S上    （2）A點(diǎn)在球面S之外部    （3）線段

.

AB

與球面S相交   （4）A點(diǎn)為直線AB上距離球心最近的點(diǎn)   （5）球面S和xy，yz，xz平面分別截出的三個(gè)圓中，以與xy平面所截的圓面積為最大．

Answer 1

分析：由于S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14，表示：球心P（1，2，3），半徑r=

14

（1）利用原點(diǎn)O與球心P的距離進(jìn)行判定；O在球面上．
（2）利用AP的長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系判定A在球面S的內(nèi)部．
（3）利用AP的長(zhǎng)與半徑之間的關(guān)系判定B在球面S的外部，所以

.

AB

與球面S相交．
（4）直線AB上距離球心P最近的點(diǎn)即為P在直線AB上的投影點(diǎn)Q．結(jié)合向量的去處即可；
（5）利用平面愈接近球心，與球面S所截出的圓面積愈大進(jìn)行判定．

解答：解：S：（x-1）²+（y-2）²+（z-3）²=14，球心P（1，2，3），半徑r=

14

（1）原點(diǎn)O與球心P的距離

.

OP

=

12+22+32

=

14

=r，故O在球面上．
（2）

.

AP

=

(1-1)2+(2-0)2+(3-0)2

=

13

＜r，故A在球面S的內(nèi)部．
（3）

.

BP

=

(-1-1)2+(2-0)2+(3-0)2

=

17

＞r，故B在球面S的外部，所以

.

AB

與球面S相交．
（4）直線AB上距離球心P最近的點(diǎn)即為P在直線AB上的投影點(diǎn)Q．

AB

=(-2，0，0)=-2(1，0，0)
設(shè)Q（k，0，0）∵

PQ

⊥

AB

，∴（k-1，-2，-3）•（1，0，0）=0?k=1
故Q（1，0，0），即Q=A
（5）平面愈接近球心，與球面S所截出的圓面積愈大．球心P（1，2，3）距離xy平面3個(gè)單位，距離yz平面1個(gè)單位，
距離xoz平面2個(gè)單位；故求面S與yz平面所截出圓面積最大．
故答案為（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球的空間直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)、球與平面位置關(guān)系的判斷方法，難易度中．解答的關(guān)鍵是利用到球心的距離與半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判定．