Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面或體內(nèi)任取一點M，若

AA1

•

AM

≥1，則動點M所構(gòu)成的幾何體的體積為（　�。�

• A、4
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：常規(guī)題型,計算題,解題方法,空間角

分析：先以A為原點建立空間直角坐標系，由數(shù)量積公式得出點M到平面ABCD的距離大于等于

1

2

，點M的軌跡是正方體的一部分，求出其體積，

解答：解：正方體的體積為V=2³=8，
以A為原點建立空間直角坐標系，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸．
那么A（0，0，0），A₁（0，0，2）
設M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴

AM

=（x，y，z），

AA1

=（0，0，2）
則

AA1

•

AM

≥1，即2z≥1，z≥

1

2

．
即點M與平面ABCD的距離大于等于

1

2

，
點M的軌跡是正方體的

3

4

，
其體積為：V₁=

3

4

×23=6，
故選：B．

點評：本題考查了幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．