Question

已知a＞0，函數f（x）=ax-bx².

（1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1,證明a≤2;

（2）當b＞1時，證明對任意x∈［0,1］,|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;

（3）當0＜b≤1時，討論對任意x∈［0,1］,|f（x）|≤1的充要條件.

Answer 1

（1）證明：依題意設對任意x∈R都有f（x）≤1,?

∵f（x）=-b（x-）²+,?

∴f（）=b≤1.

∴x∈R,f（x）_max=.

∵b＞0,x∈R,f（x）≤1,?

故≤1,∴a≤2.

（2）證明：仿照（1）的方法可證明.

（3）解析：∵a＞0,0＜b≤1時，對任意x∈［0,1］，有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1,即f（x）≥-1;

f（x）≤1f（1）≤1a-b≤1,即a≤1+b.而a≤1+bf（x）≤（1+b）x-bx²≤1,即f（x）≤1.

∴當a＞0,0＜b≤1時，對任意x∈［0,1］, |f（x）|≤1的充要條件是a≤1+b.