Question

13．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，$∠ADC=\frac{π}{3}$，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=1，點(diǎn)M在線段EF上．
（1）當(dāng)$\frac{FM}{EM}$為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，推導(dǎo)出四邊形AOFM是平行四邊形，從而AM∥OF，由此能證明AM∥平面BDF．
（2）在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作GC⊥CD，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CD，CG，CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-EF-D的余弦值．

解答 解：（1）當(dāng)$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$時(shí)，AM∥平面BDF．
證明如下：
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=O，連接FO，
因?yàn)锳D=BC=1，∠ADC=60°，
所以DC=2，又AB=1，
因?yàn)椤鰽OB∽△CDO，
因此CO：AO=2：1，
所以$\frac{FM}{EM}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，因?yàn)锳CFE是矩形，
所以四邊形AOFM是平行四邊形，
所以AM∥OF，
又OF?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM∥平面BDF；
（2）在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作GC⊥CD，
因?yàn)槠矫鍭CFE⊥平面ABCD，且交線為AC，
則CF⊥平面ABCD，即CF⊥GC，CF⊥DC，
以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CD，CG，CF所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則$B（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，D（2，0，0），$E（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，F(xiàn)（0，0，1），
所以$\overrightarrow{BE}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{BF}=（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{DE}=（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{DF}=（-2，0，1）$，
設(shè)平面BEF的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BF}=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\-\frac{1}{2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+z=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，-1）$，
同理可得平面DEF的法向量$\overrightarrow n=（1，-\sqrt{3}，2）$，
所以$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
因?yàn)槎�面角B-EF-D是銳角，所以其余弦值是$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足線面平行的線段的比值的判斷與證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．