Question

【題目】a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：
①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；
②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；
③直線AB與a所成角的最小值為45°；
④直線AB與a所成角的最小值為60°；
其中正確的是（填寫所有正確結論的編號）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，
不妨設圖中所示正方體邊長為1，
故|AC|=1，|AB|= ，
斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，
B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，
以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，

則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量 =（0，1，0），| |=1，
直線b的方向單位向量 =（1，0，0），| |=1，
設B點在運動過程中的坐標中的坐標B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），
∴AB′在運動過程中的向量， =（﹣cosθ，﹣sinθ，1），| |= ，
設 與 所成夾角為α∈[0， ]，
則cosα= = |sinθ|∈[0， ]，
∴α∈[ ， ]，∴③正確，④錯誤．
設 與 所成夾角為β∈[0， ]，
cosβ= = = |cosθ|，
當 與 夾角為60°時，即α= ，
|sinθ|= = = ，
∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，
∵β∈[0， ]，∴β= ，此時 與 的夾角為60°，
∴②正確，①錯誤．
故答案為：②③．
由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|=1，|AB|= ，斜邊AB以直線AC為旋轉軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結果．