Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$為偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）記集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=（lg 2）²+lg 2lg 5+lg 5-$\frac{1}{4}$，判斷λ與E的關(guān)系；
（3）當(dāng)x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]（m＞0，n＞0）時(shí)，若函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，解可得a的值；
（2）由（1）可得a的值，即可得函數(shù)的解析式，由此可得集合E，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得λ的值，分析可得答案；
（3）由（1）可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而可以斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$，則f（-x）=$\frac{[（-x）+1][（-x）+a]}{（-x）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，
又由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），
即$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，
解可得a=-1；
（2）由（1）可得a=-1，則f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
則有f（1）=f（-1）=0，f（2）=$\frac{3}{4}$，
則集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，$\frac{3}{4}$}，
λ=（lg 2）²+lg 2lg 5+lg 5-$\frac{1}{4}$=lg2（lg2+lg5）+lg5-$\frac{1}{4}$=lg2+lg5-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
則有λ∈E；
（3）由（1）可得a=-1，則f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，則函數(shù)在（0，+∞）為增函數(shù)，
若當(dāng)x∈[$\frac{1}{m}$，$\frac{1}{n}$]（m＞0，n＞0）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-3m，2-3n]，
則有$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{m}）=1-{m}^{2}=2-3m}\\{f（\frac{1}{n}）=1-{n}^{2}=2-3n}\end{array}\right.$，
解可得m=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，n=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
又由$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{n}$且m＞0，n＞0，則有0＜n＜m，
則m=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，n=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵要先求出a的值，確定函數(shù)的解析式．