Question

8．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2c-a}$．
（Ⅰ）求證：sinC=2sinA；
（Ⅱ）若cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理可得：$\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，整理后由兩角和的正弦函數公式即可得證；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c=2a，①，由余弦定理可得：4=${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，②，由①②解得a，c的值，根據三角形面積公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由 $\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2c-a}$，
利用正弦定理可得 $\frac{cosA-2cosC}{cosB}$=$\frac{2sinC-sinA}{sinB}$，
∴sinBcosA-2cosCsinB=2sinCcosB-sinAcosB，
∴sinBcosA+cosBsinA=2（sinBcosC+cosBsinC），
∴sin（B+A）=2sin（B+C），即 sinC=2sinA，得證．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c=2a，①
∵cosB=$\frac{1}{4}$，b=2，
∴由余弦定理可得：4=${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{1}{2}ac$，②
∴由①②解得：a=1，c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×2×$$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，兩角和的正弦函數公式的應用，屬于基本知識的考查．