Question

【題目】已知，為橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓E有且只有一個交點(diǎn)T．

（1）求面積的取值范圍．

（2）若有一束光線從點(diǎn)射出，射在直線l上的T點(diǎn)上，經(jīng)過直線l反射后，試問反射光線是否恒過定點(diǎn)？若是，請求出該定點(diǎn)；若否，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定點(diǎn)

【解析】

（1）由題意設(shè)直線l的方程為：，將代入，得，由，解得，由韋達(dá)定理得切點(diǎn)T的，的面積，根據(jù)m的范圍即可求出；

（2）由對稱性和（1）得，不妨取切點(diǎn)，則直線l：，設(shè)關(guān)于l對稱的點(diǎn)為，經(jīng)計(jì)算得，，直線恒過定點(diǎn)，即可得答案.

（1），∴直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)直線l的方程為l：，

將代入，得，

因?yàn)橹本�l與橢圓E有且只有一個交點(diǎn)T，所以，解得，

此時求得，由，得，

，所以切點(diǎn)T的坐標(biāo)為，又，，

所以的面積，又，，．

（2）由對稱性和（1）得，不妨取切點(diǎn)，則直線l：，設(shè)關(guān)于l對稱的點(diǎn)為，

則，，．

，，

故直線的斜率為，

所以直線的方程為，即恒過定點(diǎn)，

所以光線被直線l反射后恒過定點(diǎn)．