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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
lim
n→∞
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
n•3n
的值為（　　）
A、0
B、
1
2
C、2
D、不存在
分析：先利用組合數階乘形式的公式得到kCnk=nCn-1k-1；將分子中的各部分提出公因式n，再利用二項式系數的和為2n-1，代入求出值即可．
解答：解：∵kCnk=nCn-1k-1，
∴Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=nCn-10+nCn-11+nCn-12+nCn-13+…+nCn-1n-1
=n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=n•2n-1．
∴
lim
n→∞
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
n•3n

=
lim
n→∞
n•2n-1
n•3n
=0
故選A．
點評：本題考查組合數的公式性質：kCkn=nCk-1n-1；考查二項式系數和公式，以及極限的求法，考查運算能力，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

lim
n→∞
C
0
n
+
C
1
n
+
C
2
n
1+3+5+…+(2n-1)
=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

在下列極限中，其值等于2的是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)模擬）我們規(guī)定：對于任意實數A，若存在數列{an}和實數x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

lim
n→∞
C1n
+2
C2n
+3
C3n
+…+n
Cnn
n•3n
的值為（　�。�
A．0B．
1
2
C．2D．不存在

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