Question

研究室有甲、乙兩個課題小組，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，甲、乙兩小組完成課題研究各項任務(wù)的概率依次分別為P1=

2

3

，P2，現(xiàn)假設(shè)每個課題研究都有兩項工作要完成，并且每項工作的完成互不影響，若在一次課題研究中，兩小組完成任務(wù)項數(shù)相等且都不少于一項，則稱該研究為“先進和諧室”．
（Ⅰ）若P2=

1

2

，求該研究室在完成一次課題任務(wù)中榮獲“先進和諧室”的概率；
（Ⅱ）設(shè)在完成6次課題任務(wù)中該室獲得“先進和諧室”的次數(shù)為ξ，求Eξ≥2.5時，P₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）該研究室在完成一次課題任務(wù)中榮獲“先進和諧室”有兩種情形，一種是兩小組各完成一項任務(wù)，一種是兩小組各完成兩項任務(wù)，分別求出其概率，相加即可求出所求；
（II）研究室在一次任務(wù)中榮獲“先進和諧室”的概率P=(

C

1 2

•

2

3

•

1

3

)[

C

1 2

•P2•(1-P 2)]+(

2

3

•

2

3

)

P

2 2

然后根據(jù)Eξ=6P，Eξ≥2.5建立不等關(guān)系，解之即可求出P₂的取值范圍．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）P=(

C

1 2

•

2

3

•

1

3

)(

C

1 2

•

1

2

•

1

2

)+(

2

3

•

2

3

)(

1

2

•

1

2

)=

1

3

（Ⅱ）研究室在一次任務(wù)中榮獲“先進和諧室”的概率P=(

C

1 2

•

2

3

•

1

3

)[

C

1 2

•P2•(1-P 2)]+(

2

3

•

2

3

)

P

2 2

=

8

9

P2-

4

9

P

2 2

而ξ～B（6，P），所以Eξ=6P，由Eξ≧2.5知(

8

9

P2-

4

9

P

2 2

)×6≥2.5
解得

3

4

≤p2≤

5

4

，而p₂≤1，所以

3

4

≤p2≤1

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．