Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=BC（a＞0），
(Ⅰ)當(dāng)a=1時，求證：BD⊥PC；
(Ⅱ)若BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，求此時二面角A-PD-Q的余弦值。

Answer 1

解：(Ⅰ)當(dāng)a=1時，底面ABCD為正方形， ∴BD⊥AC， 又因?yàn)锽D⊥PA， ∴BD⊥面PAC， 又， ∴BD⊥PC。

(Ⅱ) 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111221/20111221154541546995.gif">兩兩垂直， 分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系， 如圖所示，令A(yù)B=1，可得BC=a， 則， 設(shè)BQ=m，則， 要使PQ⊥QD， 只要， 即， 由，此時m=1， 所以BC邊上有且只有一個點(diǎn)Q， 使得PQ⊥QD時，Q為BC的中點(diǎn)，且a=2， 設(shè)面PQD的法向量， 則， 解得， 取平面PAD的法向量， 則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等， 所以， 因此二面角A-PD-Q的余弦值為。