Question

已知橢圓C：

x2

4

+y2=1的右焦點為F，右準線為l，過F作直線交橢圓C于點P、Q兩點．
（I）設(shè)

OM

=

1

2

(

OP

+

OQ

)（O為坐標原點），求M的軌跡方程；
（II）設(shè)N是l上的任一點，求證：∠PNQ＜90°．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設(shè)知F(

3

，0)．由

OM

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，知M為PQ之中點，知

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

，由P、Q在橢圓C上，有

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1．由點差法能夠得到所求的軌跡方程．
（II）過P、Q及PQ之中點R，分別作右準線l的垂線PP₁，QQ₁，RR₁，垂足為P₁，Q，R₁，由橢圓的定義，知

|PF|

|PP1|

=

|QF|

|QQ1|

=e，故|PP1|=

|PF|

e

，|QQ1|=

|QF|

e

(e=

3

2

)．由此能夠證明∠PNQ＜90°．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題設(shè)知F(

3

，0)．由

OM

=

1

2

(

OP

+

OQ

)，知M為PQ之中點，∴

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

又P、Q在橢圓C上，則

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1．當x₁≠x₂時，兩式相減，得

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

，即kPQ=-

x

4y

，又kMF=

y

x- 3

，所以

-x

4y

=

y

x- 3

，化簡得x2+4y2-

3

x=0．
當x₁=x₂時，即PQ垂直于x軸時，此時M的坐標為（

3

，0），也是滿足上式．故所求的軌跡方程為x2+4y2-

3

x=0．
（II）過P、Q及PQ之中點R，分別作右準線l的垂線PP₁，QQ₁，RR₁，垂足為P₁，Q，R₁，由橢圓的定義，知

|PF|

|PP1|

=

|QF|

|QQ1|

=e，∴|PP1|=

|PF|

e

，|QQ1|=

|QF|

e

(e=

3

2

)．
又|RR1|=

|PP1|+|QQ1|

2

=

1

2

•

|PF|+|QF|

e

=

1

2

•

|PQ|

e

=

|PQ|

2

•

2

3

，

|PQ|

2

，
所以以PQ為直徑的圓與l相離，所以N在以PQ為直徑的圓外，所以∠PNQ＜90°．

點評：本題考查M的軌跡方程的求法和證明∠PNQ＜90°．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．