Question

6．已知雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為雙曲線E的兩個焦點，且雙曲線E的離心率是2．直線AC的斜率為k．則|k|等于（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 可令x=c，代入雙曲線的方程，求得y=±$\frac{^{2}}{a}$，再由題意設(shè)出A，B，C，D的坐標，由離心率公式，可得a，b，c的關(guān)系，運用直線的斜率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
由題意可設(shè)A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），B（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），
C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），D（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由雙曲線E的離心率是2，可得e=$\frac{c}{a}$=2，
即c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
直線AC的斜率為k=$\frac{\frac{2^{2}}{a}}{-2c}$=-$\frac{^{2}}{ac}$=-$\frac{3{a}^{2}}{2{a}^{2}}$=-$\frac{3}{2}$．
即有|k|=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用方程的思想，正確設(shè)出A，B，C，D的坐標是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．