Question

整數(shù)集合內(nèi)不等式(

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2

)4-x2＜(

1

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)2a-2x的解集是{1}，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：由題意，可先考查y=(

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2

)x單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，再由題設條件整數(shù)集合內(nèi)不等式(

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)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，得出參數(shù)a所滿足的不等式

1-2+a-4＜0 a-4≥0

，解可解出實數(shù)a的范圍

解答：解：由題意(

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)4-x2＜(

1

2

)2a-2x，由于y=(

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2

)x是一個減函數(shù)
∴4-x²＞2a-2x，即x²-2x+2a-4＜0，令f（x）=x²-2x+2a-4
由于整數(shù)集合內(nèi)不等式(

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)4-x2＜(

1

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)2a-2x的解集是{1}，
所以有

f(1)=1-2+2a-4＜0 f(2)=f(0)=2a-4≥0

，解得2≤a＜2.5
答：實數(shù)a的范圍是2≤a＜2.5

點評：本題考查指數(shù)函數(shù)綜合題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是將指數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，本題的難點是理解“整數(shù)集合內(nèi)不等式(

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)4-x2＜(

1

2

)2a-2x的解集是{1}，”由此知，此不等式的解集中只有整數(shù)1，從而推斷出x=0，x=2時的函數(shù)值都是大于等于0的，這為轉(zhuǎn)化出關于a的不等式組提供了依據(jù)．本題考查了理解能力及根據(jù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化的能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想