Question

已知橢圓C的左，右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,離心率是。橢圓C的左，右頂點(diǎn)分別記為A,B。點(diǎn)S是橢圓C上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AS,BS與直線(xiàn)分別交于M,N兩點(diǎn)。

（1）       求橢圓C的方程；

（2）       求線(xiàn)段MN長(zhǎng)度的最小值；

（3）       當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上的T滿(mǎn)足：T到直線(xiàn)AS的距離等于.

試確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

  解（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052219493110939185/SYS201205221951387968417834_DA.files/image001.png">，且，所以

         所以橢圓C的方程為         …………………………………………….3分

  (2 ) 易知橢圓C的左，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為,直線(xiàn)AS的斜率顯然存在，且

         故可設(shè)直線(xiàn)AS的方程為，從而

         由得

         設(shè)，則，得

         從而，即

         又,故直線(xiàn)BS的方程為

         由得，所以

         故

         又，所以

        當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立

        所以時(shí)，線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值        ………………………………..9分

（3）由（2）知，當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，

此時(shí)AS的方程為，,

     因?yàn)辄c(diǎn)T到直線(xiàn)AS的距離等于，

     所以點(diǎn)T在平行于AS且與AS距離等于的直線(xiàn)上

     設(shè)，則由，解得

①  當(dāng)時(shí)，由得

        由于，故直線(xiàn)與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)

       ②時(shí)，由得

由于，故直線(xiàn)與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn)

綜上所求點(diǎn)T的個(gè)數(shù)是2.                ……………………………………………..14分

【解析】略