Question

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點(diǎn)），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）11

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)題意求出的坐標(biāo)與A點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入式子，即可求出a的值，進(jìn)而得到橢圓M的方程.

（2）設(shè)圓的圓心為，則可以轉(zhuǎn)化所求內(nèi)積，

，故求求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．N點(diǎn)為定點(diǎn)且坐標(biāo)已知，故設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)且滿足橢圓方程，帶入坐標(biāo)公式利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出NP的最值，此外還可以利用參數(shù)方程來求解NP的最值.

試題解析：

（1）由題設(shè)知，，， 1分

由，得． 2分

解得． 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，

則 5分

6分

． 7分

從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值． 8分

因?yàn)?/span>是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)， 9分

所以，即． 10分

因?yàn)辄c(diǎn)，所以． 11分

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，取得最大值12． 13分

所以的最大值為11． 14分

方法2：設(shè)點(diǎn)，

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以 5分

所以 6分

． 8分

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即． 9分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即． 10分

所以． 12分

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，． 14分

方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為， 5分

由，解得． 6分

因?yàn)?/span>是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即 7分

所以， 8分

所以． 9分

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，取得最大值11． 11分

②若直線的斜率不存在，此時的方程為，

由，解得或．不妨設(shè)，，． 12分

因?yàn)?/span>是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即．

所以，．

所以．

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，取得最大值11． 13分

綜上可知，的最大值為11． 14分

考點(diǎn)：橢圓 最值 向量內(nèi)積