Question

已知函數(shù)f(x)=

x+ 1 x ，x＞0 x3+3，x≤0

，則方程f(2x2+x)=a的根的個(gè)數(shù)不可能是（　�。�

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：先畫出函數(shù)f（t）的圖象，得出f（t）=a的實(shí)數(shù)根的情況；再利用換元法，令t=2x²+x，進(jìn)一步考查f（2x²+x）=a根的情況即可．

解答：解：（1）畫出f（x）圖象，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+

1

x

≥2，
當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x³+3≤3．于是可得：
①當(dāng)2＜a＜3時(shí)，f（x）=a有3個(gè)根，一負(fù)二正；
②當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=a有3個(gè)根，一零二正；
③當(dāng)3＜a時(shí)，f（x）=a有2個(gè)正根；
④當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=a有一正一負(fù)根；
⑤當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）=a只有一負(fù)根．
（2）令t=2x²+x=2(x+

1

4

)2-

1

8

，則t≥-

1

8

，
①當(dāng)2＜a＜3時(shí)，f（t）=a有3個(gè)t使之成立，一負(fù)二正，兩個(gè)正t分別對(duì)應(yīng)2個(gè)x，
當(dāng)t＜-

1

8

時(shí)，沒有x與之對(duì)應(yīng)，
當(dāng)t=-

1

8

時(shí)，有1個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，
當(dāng)t＞-

1

8

時(shí)，有2個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，∴根的個(gè)數(shù)分別為4、5、6個(gè)；
②當(dāng)3＜a時(shí)，f（t）=a有2個(gè)正根，兩個(gè)正t分別對(duì)應(yīng)2個(gè)x，此時(shí)根的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
③由題目不必考慮a≤2的情形．
所以根的個(gè)數(shù)只可能為4、5、6個(gè)．
即方程f（2x²+x）=a的根的個(gè)數(shù)只可能為4、5、6個(gè)，不可能為3個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：正確得出函數(shù)的單調(diào)性并畫出函數(shù)圖象、利用換元法及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．