Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和。
（1）令，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（2）令，試比較與的大小，并予以證明。

Answer 1

解：（1）在中，
令n=1，可得，即，
，
所以，
所以，即，

，
又，

于是，所以。
（2）由（1）得，
所以，                       ①
             ②
由①-②得，，
所以，
，
于是確定與的大小關(guān)系等價(jià)于比較2ⁿ與2n+1的大小。
 猜想當(dāng)n=1，2時(shí)，2ⁿ<2n+1，
當(dāng)n≥3時(shí)，2ⁿ>2n+1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=3時(shí)，顯然成立；

則當(dāng)n=k+1時(shí)，
，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立。
于是，當(dāng)n≥3，n∈N*時(shí)，2ⁿ>2n+1成立，
 綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)，；
                  當(dāng)n≥3時(shí)，。