Question

在如圖所示的幾何體中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AE＝2CD＝2

(Ⅰ)證明DF⊥平面ABE；

(Ⅱ)求二面角A―BD―E的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一(Ⅰ)取的中點(diǎn)，連結(jié)、． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image85.gif" width=24 height=17>∥，∥，所以∥． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image89.gif" width=42 height=17>，，所以． 　　所以四邊形是平行四邊形，∥．　　分 　　在等腰中，是的中點(diǎn)，所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image101.gif" width=34 HEIGHT=16>平面，平面，所以． 　　而，所以平面． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image94.gif" width=25 HEIGHT=16>∥，所以平面．　　分 　　(Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image108.gif" width=38 HEIGHT=16>平面，平面，所以平面平面． 　　過點(diǎn)作于，則平面，所以． 　　過點(diǎn)作于，連結(jié)，則平面，所以． 　　所以是二面角的平面角．　　分 　　在中，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image133.gif" width=125 height=21>，所以是等邊三角形．又，所以 　　，． 　　在中，． 　　所以二面角的余弦值是．　　分 　　解法二　(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image144.gif" width=34 HEIGHT=16>平面，∥，所以平面． 　　故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 　　相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，， 　　，，．　　分 　　所以，，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2129/0018/6836e492ea0026efc9c6416b3ac80215/C/Image157.gif" width=190 height=32>，， 　　所以，．而，所以平面．　　分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，，． 　　設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得 　　即．取，則． 　　設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得 　　即．取，，則．分 　　設(shè)二面角的大小為，則 　　故二面角的余弦值是．　　分