Question

16．已知偶函數y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調遞增，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，給出下列判斷：
①f（-3）=0；②f（x）在[1，2]上是增函數；③f（x）的圖象關與直線x=1對稱；④函數f（x）在x=2處取得最小值；⑤函數y=f（x）沒有最大值，其中判斷正確的序號是①④．

Answer 1

分析 根據偶函數的性質和條件，得出函數的周期為2，結合函數單調性，模擬函數圖象，判斷結論即可．

解答 解：由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（4+x）=f（x），所以函數的周期是4．
當x=0時，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因為f（5）=f（4+1）=f（1）=0，
∴f（-3）=f（1）=0所以①正確；
因為y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調遞增，f（x+2）=-f（x），所以函數在區(qū)間[1，2]單調遞減，所以②不正確；
因為y=f（x）是偶函數，所以對稱軸為x=0+2k，所以③不正確．
因為偶函數y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調遞增，f（x+2）=-f（x），所以函數在區(qū)間[1，2]單調遞減，[2，3]單調遞增，所以在x=2處取得最小值，故④正確；
顯然函數的最大值為f（0）故⑤錯誤；
故答案為：①④．

點評 考查了抽象函數的奇偶性，單調性和周期性．需對函數性質深刻理解．