Question

如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑BC=4，AB=AC，∠BAC=90°，D為半圓弧

B1C

的中點，若異面直線BD和AB₁所成角的大小為arccos

2

3

，求：
（1）該幾何體的體積；
（2）直線AD與平面ACC₁A₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）連A₁D，由題設(shè)知A₁、D關(guān)于B₁C對稱，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，利用異面直線BD和AB₁所成角的大小為arccos

2

3

，求得AA₁，利用V=

1

2

•AB•AC•h+

1

2

•π•(

BC

2

)2•h可求幾何體的體積；
（2）

AD

=（2

2

，2

2

，4），平面ACC₁A₁的法向量

n

=（0，1，0），利用向量的夾角公式，可求直線AD與平面ACC₁A₁所成角的大小．

解答：解：連A₁D，由題設(shè)知A₁、D關(guān)于B₁C對稱，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=h，則A（0，0，0），B（0，2

2

，0），B₁（0，2

2

，h），
D（2

2

，2

2

，h），

BD

=（2

2

，0，h），

AB1

=（0，2

2

，h），
∵異面直線BD和AB₁所成角的大小為arccos

2

3

∴

2

3

=

| BD • AB1 |

| BD || AB1 |

=

h2

h2+8 • h2+8

∴2h²+16=3h²，∴h=4，
（1）V=

1

2

•AB•AC•h+

1

2

•π•(

BC

2

)2•h=

1

2

•2

2

•2

2

•4+

1

2

•π•22•4=16+8π．
（2）

AD

=（2

2

，2

2

，4），平面ACC₁A₁的法向量

n

=（0，1，0），
設(shè)直線AD與平面ACC₁A₁所成角為θ，則sinθ=

| AD • n |

| AD |•| n |

=

2 2

4 2

=

1

2

，∴θ=

π

6

，
故直線AD與平面ACC₁A₁所成角的大小為

π

6

．

點評：本題考查幾何體的體積，考查線線角、線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，綜合性強．