Question

若函數g（x）=

a

b

x+

2

b

（a＞0，b＞0）和函數f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過一個定點，則

1

a

+

1

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：指數函數的單調性與特殊點

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：根據指數函數的性質先求出定點的坐標，代入g（x）得a、b的關系，再利用導數的性質求出目標函數的最小值．

解答： 解：∵當x+1=0，即x=-1時，f（x）=1+1=2；
∴函數f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過一定點（-1，2），
又函數g（x）=

a

b

x+

2

b

（a＞0，b＞0）的圖象過點（-1，2），
∴-

a

b

+

2

b

=2，
解得b=

2-a

2

，且0＜a＜2，a≠1；
∴

1

a

+

1

b

=

1

a

+

2

2-a

=

2+a

2a-a2

；
設y=

2+a

2a-a2

，（其中0＜a＜2），
則y′=

(2a-a2)-(2+a)(2-2a)

(2a-a2)2

=

a2+4a-4

(2a-a2)2

，
令a²+4a-4=0，
解得a=2

2

-2，或a=-2

2

-2（不合題意，舍去）；
當a=2

2

-2時，y取得最小值是

1

2 2 -2

+

2

2-(2 2 -2)

=

2 2 +2

8-4

+

2+ 2

4-2

=

3+2 2

2

；
故答案為：

2 2 +3

2

．

點評：本題考查了函數的單調性與最值的問題，求最值時用到了函數的導數，是綜合性題目．