Question

如圖⊙O的兩弦AB，CD所在直線交于圓外一點P．
（1）若PC=2，CD=1，點A為PB的中點，求弦AB的長；
（2）若PO平分∠BPD，求證：PB=PD．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用割線定理即可得出；
（2）利用垂徑定理、同圓中的弦與弦心距的關系定理、角平分線的性質及全等三角形的判定與性質即可得出．
解答：解（1）由割線定理可得：PA•PB=PC•PD，
∵點A為PB的中點，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=．
（2）作OM⊥CD于 M，ON⊥AB于N，
∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圓中弦心距相等，∴AB=CD，
∴點M平分弦CD，點N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．
又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，
∴PN+NB=PM+MD，
∴PB=PD．
點評：熟練掌握圓的割線定理、垂徑定理、同圓中的弦與弦心距的關系定理、角平分線的性質及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．