Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²，g（x）=ax+b（a＞0），若對?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a，b的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1
• B． 0＜a≤$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1
• C． a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≥1
• D． a≥$\frac{{{e^2}-5}}{2}$，b≤1

Answer 1

分析 對?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），等價(jià)于x∈[0，2]時(shí)f（x）的值域?yàn)間（x）值域的子集，利用單調(diào)性求得兩函數(shù)的值域，由集合的包含關(guān)系可得不等式，解出即可．

解答 解：因?yàn)閒′（x）=e^x-2x，
令y=e^x-2x，可得y′=e^x-2，令e^x-2=0，解得x=ln2，
y=e^x-2x的最小值為：2^ln2-2ln2=2-2ln2＞0
可得f′（x）=e^x-2x＞0，所以f（x）在[0，2]上遞增，
所以x∈[0，2]時(shí)，f（0）≤f（x）≤f（2），即1≤f（x）≤e²-2，
由a＞0得g（x）=ax+b在[0，2]上遞增，
所以x∈[0，2]時(shí)，g（0）≤g（x）≤g（2），即b≤g（x）≤2a+b，
又對?x₁∈[0，2]，?x₂∈[0，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
所以有[1，e²-4]⊆[b，2a+b]，則$\left\{\begin{array}{l}b≤1\\ 2a+b＞{e}^{2}-4\end{array}\right.$，
由e²-4-2a≤b≤1得，a≥$\frac{{e}^{2}-5}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查恒成立問題，本題中對恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．