Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證： ≤Tn＜.

Answer 1

【答案】（1）an＝4n＋2.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組，求解方程組可得a1＝6，d＝4.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n＋2(n∈N*)．

(2)裂項(xiàng)求和可得，則，結(jié)合前n項(xiàng)和公式可證得數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，則Tn≥T1＝，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

(1)因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列，

所以an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d.

依題意，有

即

解得a1＝6，d＝4.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n＋2(n∈N*)．

(2)證明：由(1)可得Sn＝2n2＋4n.

所以＝＝＝(－)．

所以Tn＝＋＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋·

＋＝

＝－.

因?yàn)?/span>Tn－＝－＜0，所以Tn＜.

因?yàn)?/span>Tn＋1－Tn＝＞0，所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，

所以Tn≥T1＝.所以≤Tn＜.