Question

已知函數(shù)f(x)=-2alnx（a>0）

（I)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值.

（II）若方程f（x）=2ax有唯一解，求實(shí)數(shù)a的值.

 

Answer 1

【答案】

（I)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，最小值為

（II）

【解析】

試題分析：解：⑴函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101205066323339/SYS201310010121540938419160_DA.files/image006.png">，且，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，

 .

⑵設(shè)，

則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101205066323339/SYS201310010121540938419160_DA.files/image015.png">，令，則，

所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

即函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)均有，

所以有唯一解，

注意到，所以 

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013100101205066323339/SYS201310010121540938419160_DA.files/image032.png">，所以，

記，則對于恒成立，

即為增函數(shù)，又，所以，

解之得，為所求.

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，以及推理能力、運(yùn)算能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，屬中檔題．