Question

請思考如何利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求和．

1．S_n＝1＋2x＋3x²＋…＋nx^n－1(x≠0，n∈N^*)；

2．S_n＝＋…＋n(n∈N^*)．

Answer 1

答案：
解析：

導(dǎo)思：1．一般很容易想到通過錯位相減的方法及構(gòu)造二項式定理的方法來解決，轉(zhuǎn)換思維角度．由求導(dǎo)公式(xn)＝nxn－1可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和．利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，可使問題解法更加簡捷． 　　2．通過對數(shù)列的通項進(jìn)行聯(lián)想，合理運(yùn)用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題得到解決，其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu)，這也有助于培養(yǎng)善于聯(lián)想的好習(xí)慣． 　　探究：1．當(dāng)x＝1時，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；當(dāng)x≠1時，x＋x2＋x3＋…＋xn＝兩邊都是對關(guān)于x的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)． 　　(x＋x2＋x3＋…＋xn＝(， 　　即Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝． 　　2．(1＋x)n＝1＋＋…＋nxn－1， 　　令x＝1，得n·2n－1＝， 　　即Sn＝＋…＋n＝n·2n－1．