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已知橢圓C的焦點為F1（-2
2
，0）和 F2（2
2
，0），長軸長為6，設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點．
求：
（1）橢圓C的標準方程；
（2）弦AB的中點坐標及弦長．
分析：（1）由橢圓C的焦點為F1（-2
2
，0）和 F2（2
2
，0），長軸長為6，能求出橢圓C的標準方程．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），AB線段的中點為M（x0，y0），由
x2+9y2=9
y=x+2
，得10x2+36x+27=0，故x1+x2=-
18
5
，x1x2=
27
10
，由此能求出弦AB的中點坐標及弦長．
解答：解：（1）∵橢圓C的焦點為F1（-2
2
，0）和 F2（2
2
，0），長軸長為6，
∴橢圓的焦點在x軸上，c=2
2
，a=3，∴b=1，
∴橢圓C的標準方程
x2
9
+y2=1
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），
AB線段的中點為M（x0，y0）
由
x2+9y2=9
y=x+2
，消去y，得10x2+36x+27=0，
∴x1+x2=-
18
5
，x1x2=
27
10
，
∴x0=-
9
5
，∵y0=x0+2=2-
9
5
=
1
5
，
∴弦AB的中點坐標為（-
9
5
，
1
5
），
|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
2
(-
18
5
)2-4×
27
10
=
6
3
5
．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦AB的中點坐標及弦長．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），B是它的下頂點，F(xiàn)是其右焦點，BF的延長線與橢圓及其右準線分別交于P、Q兩點，若點P恰好是BQ的中點，則此橢圓的離心率是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當
FA
=λ
AP
時，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點，點F（1，0）是它的一個焦點，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點，且當直線l垂直于x軸時，OA•OB=
56
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得在橢圓C的右準線上可以找到一點P，滿足△ABP為正三角形．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，一個焦點為F(0，-
2
)，點M(1，
2
)在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點，求△MAB的面積
（Ⅲ）設P為橢圓C上一點，若∠PMF=90°，求P點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）已知橢圓C的焦點在y軸上，離心率為
2
2
，且短軸的一個端點到下焦點F的距離是
2
．
（I）求橢圓C的標準方程；
（II）設直線y=-2與y軸交于點P，過點F的直線l交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

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