Question

已知函數f（x）=x²+x+q，集合A={x|f（x）=0，x∈R}，B={x|f（f（x））=0，x∈R}，若B為單元素集，試求q的值．

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：集合

分析：根據方程f（x）=0和f（f（x））=0之間的關系求出集合A，B滿足條件的集合關系，利用B為單元素集，建立方程關系即可得到結論．

解答： ∵集合A={x|f（x）=0，}，B={x|f（f（x））=0}
∴A⊆B
∴B={x|f（f（x）=0}={x|f²（x）+f（x）+q=0}={x|[（f（x）+

1

2

]²+q-

1

4

}
∵B為單元集，∴f（x）=-

1

2

，
∴B={q-

1

4

}，
A={x|f（x）=0}={x|x²+x+q=0，x∈R}，
當A=∅時，B=∅不符題意，故A≠∅，
當A={x|x=-

1

2

}時，△=1-4q=0，解得：q=

1

4

，
∴f（f（x））=（x²+x+

1

4

）²+（x²+x+

1

4

）+

1

4

=0，
∵△=1-4×

1

4

=0
∴x²+x+=

1

4

=-

1

2

，
x²+x+

3

4

=0，方程無解，不符B為單元集，故A≠{x|x=-

1

2

}．
∴方程x²+x+q=0有2個不相等的實數解：

x1= -1- 1-4q 2 x2= -1+ 1-4q 2

，
∴A={

-1- 1-4q

2

，

-1+ 1-4q

2

}
∵A⊆B
∴當

-1- 1-4q

2

∈B時有

-1- 1-4q

2

=q-

1

4

，解得：q1=

-3+2 3

4

或q2=

-3-2 3

4

（舍去）．
同理當

-1+ 1-4q

2

∈B時有：：q1=

-3+2 3

4

或q2=

-3-2 3

4

（舍去）．
綜上，q1=

-3+2 3

4

．

點評：本題主要考查集合關系的應用，利用方程之間的關系是解決本題的關鍵，涉及的知識點較多，綜合性較強，難度較大．