Question

已知定義域為R的函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且f(0)=0，f(

π

2

)=1．
（1）求f(

π

4

)及f(

3π

2

)的值；
（2）求證：f（x）為奇函數且是周期函數．

Answer 1

分析：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取x=

π

4

，y=

π

4

，得f(

π

2

)+f(0)=

2

f(

π

4

)，再由f(0)=0，f(

π

2

)=1，知f(

π

4

)=

2

2

．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取x=π，y=

π

2

得f(

3π

2

)+f(

π

2

)=0，由此能求出f(

π

4

)及f(

3π

2

)的值．
（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，取x=0得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，由f（0）=0，知f（x）為奇函數．在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中取y=

π

2

得f(x+

π

2

)+f(x-

π

2

)=0，故f(x+

3π

2

)+f(x+

π

2

)=0，由此能夠證明f（x）是周期函數．

解答：解：（1）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=

π

4

，y=

π

4

，得f(

π

4

+

π

4

)+f(

π

4

-

π

4

)=2f(

π

4

)cos

π

4

，
即f(

π

2

)+f(0)=

2

f(

π

4

)，…（3分）
又已知f(0)=0，f(

π

2

)=1，
所以f(

π

4

)=

2

2

．…（4分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=π，y=

π

2

，得f(π+

π

2

)+f(π-

π

2

)=2f(π)cos

π

2

，
即f(

3π

2

)+f(

π

2

)=0，…（7分）
又已知f(

π

2

)=1，
所以f(

3π

2

)=-1．…（8分）
證明：（2）在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取x=0，
得f（0+y）+f（0-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，
所以f（y）+f（-y）=0，
即f（-y）=-f（y），
f（x）為奇函數．…（11分）
在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
取y=

π

2

，得f(x+

π

2

)+f(x-

π

2

)=0，
于是有f(x+

3π

2

)+f(x+

π

2

)=0，
所以f(x+

3π

2

)=f(x-

π

2

)，
即f（x+2π）=f（x），
f（x）是周期函數．…（14分）

點評：本題考查抽象函數的性質和應用，難度較大．解題時要認真審題，注意賦值法的合理運用．